.md # Κούρσα εξοπλισμών

Κούρσα εξοπλισμών

.md *Κώστας Κούδας* *Κώστας Κούδας*

.md Στην παρούσα μελέτη θα μελετήσουμε την πορεία εξέλιξης των εξοπλιστικών προγραμμάτων κάποιων ανταγωνιστικών κρατών, χρησιμοποιώντας μια παραλλαγή του μοντέλου του Lewis Fry Richardson. Φυσικά, δεν αξιωνόμαστε ότι με αυτήν μπορούμε να κάνουμε αυστηρές προβλέψεις. Η ποσοτική ανάλυση εν προκειμένω είναι απλά ένα εργαλείο για να βγάλουμε ποιοτικά συμπεράσματα. Στην παρούσα μελέτη θα μελετήσουμε την πορεία εξέλιξης των εξοπλιστικών προγραμμάτων κάποιων ανταγωνιστικών κρατών, χρησιμοποιώντας μια παραλλαγή του μοντέλου του Lewis Fry Richardson. Φυσικά, δεν αξιωνόμαστε ότι με αυτήν μπορούμε να κάνουμε αυστηρές προβλέψεις. Η ποσοτική ανάλυση εν προκειμένω είναι απλά ένα εργαλείο για να βγάλουμε ποιοτικά συμπεράσματα.

.md ## Δύο ανταγωνιστικά κράτη

Δύο ανταγωνιστικά κράτη

.md ### Μοντελοποίηση προβλήματος

Μοντελοποίηση προβλήματος

.md Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο εχθρικά μεταξύ τους κράτη. Λόγω αυτής ακριβώς της εχθρότητας μπαίνουν σε ένα ανταγωνισμό εξοπλισμών. Ας ορίσουμε ως `x[t]` την ποσότητα εξοπλισμών που έχει τη χρονική στιγμή `t` το πρώτο κράτος και `y[t]` το δεύτερο. Είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι υπάρχει ένα άνω φράγμα στο πόσο μεγάλους εξοπλισμούς μπορεί να αποκτήσει ένα κράτος. Όσο και να θέλει η Ελλάδα να αποκτήσει π.χ. 5000000 πυραύλους, δεν μπορεί αυτό να συμβεί, είτε για οικονομικούς λόγους, είτε για λόγους υπάρχοντος προσωπικού κ.τ.λ. Έτσι, δεν είναι παράλογο να υποθέσουμε ότι όσο οι διαθέσιμοι εξοπλισμοί πλησιάζουν αυτό το άνω φράγμα, τόσο μικραίνει ο ρυθμός με τον οποίο αυτοί αυξάνονται. Σε ένα απλουστευτικό μοντέλο θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του `x` (ήτοι το `x'[t]`) είναι ανάλογος της διαφοράς `SX-x[t]`, όπου `SY` το άνω φράγμα των εξοπλισμών της πρώτης χώρας. Ομοίως το `y'[t]` είναι ανάλογο του `SY-y[t]`. Από την άλλη, όσο μεγαλώνει η σχετική διαφορά των δύο εξοπλισμών, τόσο αυτό πιέζει την πιο αδύναμη χώρα να προβεί σε εξοπλισμούς. Και αντιστρόφως, φυσικά! Οι Η.Π.Α. δεν θα είχαν ανάγκη να εξοπλιστούν παραπάνω αν, υποθετικά μιλώντας, είχαν να ανταγωνιστούν μόνο την Αλβανία. Η σχετική διαφορά της πρώτης χώρας σε σχέση με τη δεύτερη είναι η `(x-y)/y`. Θεωρούμε επίσης ότι κάθε χώρα θέλει να έχει ένα «μαξιλαράκι» απόστασης από την άλλη (`px`, `py` αντίστοιχα) και ότι όσο περισσότερο απέχει από αυτό, τόσο πιο έντονη είναι η ανάγκη για εξοπλισμούς. Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το `x'[t]` είναι επίσης ανάλογο του `px-(x[t]-y[t])/y[t]` και ομοίως ότι το `y'[t]` είναι επίσης ανάλογο του `py-(y[t]-x[t])/x[t]`. Έχουμε, λοιπόν, το κάτωθι μοντέλ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο εχθρικά μεταξύ τους κράτη. Λόγω αυτής ακριβώς της εχθρότητας μπαίνουν σε ένα ανταγωνισμό εξοπλισμών. Ας ορίσουμε ως `x[t]` την ποσότητα εξοπλισμών που έχει τη χρονική στιγμή `t` το πρώτο κράτος και `y[t]` το δεύτερο.

Είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι υπάρχει ένα άνω φράγμα στο πόσο μεγάλους εξοπλισμούς μπορεί να αποκτήσει ένα κράτος. Όσο και να θέλει η Ελλάδα να αποκτήσει π.χ. 5000000 πυραύλους, δεν μπορεί αυτό να συμβεί, είτε για οικονομικούς λόγους, είτε για λόγους υπάρχοντος προσωπικού κ.τ.λ. Έτσι, δεν είναι παράλογο να υποθέσουμε ότι όσο οι διαθέσιμοι εξοπλισμοί πλησιάζουν αυτό το άνω φράγμα, τόσο μικραίνει ο ρυθμός με τον οποίο αυτοί αυξάνονται. Σε ένα απλουστευτικό μοντέλο θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του `x` (ήτοι το `x'[t]`) είναι ανάλογος της διαφοράς `SX-x[t]`, όπου `SY` το άνω φράγμα των εξοπλισμών της πρώτης χώρας. Ομοίως το `y'[t]` είναι ανάλογο του `SY-y[t]`.

Από την άλλη, όσο μεγαλώνει η σχετική διαφορά των δύο εξοπλισμών, τόσο αυτό πιέζει την πιο αδύναμη χώρα να προβεί σε εξοπλισμούς. Και αντιστρόφως, φυσικά! Οι Η.Π.Α. δεν θα είχαν ανάγκη να εξοπλιστούν παραπάνω αν, υποθετικά μιλώντας, είχαν να ανταγωνιστούν μόνο την Αλβανία. Η σχετική διαφορά της πρώτης χώρας σε σχέση με τη δεύτερη είναι η `(x-y)/y`. Θεωρούμε επίσης ότι κάθε χώρα θέλει να έχει ένα «μαξιλαράκι» απόστασης από την άλλη (`px`, `py` αντίστοιχα) και ότι όσο περισσότερο απέχει από αυτό, τόσο πιο έντονη είναι η ανάγκη για εξοπλισμούς. Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το `x'[t]` είναι επίσης ανάλογο του `px-(x[t]-y[t])/y[t]` και ομοίως ότι το `y'[t]` είναι επίσης ανάλογο του `py-(y[t]-x[t])/x[t]`.

Έχουμε, λοιπόν, το κάτωθι μοντέλο.

dEqX := x'[t] == ax*(SX-x[t])(px-(x[t]-y[t])/y[t]) dEqY := y'[t] == ay*(SY-y[t])(py-(y[t]-x[t])/x[t]) dEqX dEqY .md Ας του εκχωρήσουμε και τις κάτωθι αρχικές συνθήκες. Ας του εκχωρήσουμε και τις κάτωθι αρχικές συνθήκες.

initX := x[0] == x0 initY := y[0] == y0 initX initY .md ### Σημεία ισορροπίας

Σημεία ισορροπίας

.md Πάμε πρώτα να βρούμε τα σημεία ισορροπίας του συστήματος αυτού. Πάμε πρώτα να βρούμε τα σημεία ισορροπίας του συστήματος αυτού.

vecX := ax*(SX-x)(px-(x-y)/y) vecY := ay*(SY-y)(py-(y-x)/x) sol0 := Solve[{vecX==0, vecY==0}, {x, y}] Print["(x,y)=("<>ToString[x/.sol0[[1]][[1]]]<>", "<>ToString[y/.sol0[[1]][[2]]]<>")"] Print["(x,y)=("<>ToString[x/.sol0[[2]][[1]]]<>", "<>ToString[y/.sol0[[2]][[2]]]<>")"] Print["(x,y)=("<>ToString[x/.sol0[[3]][[1]]]<>", "<>ToString[y/.sol0[[3]][[2]]]<>")"] .md Αυτά τώρα θα τα αξιολογήσουμε ως προς την ευστάθεια. Προς τούτο θα βρούμε πρώτα τον Ιακωβιανό πίνακα. Αυτά τώρα θα τα αξιολογήσουμε ως προς την ευστάθεια. Προς τούτο θα βρούμε πρώτα τον Ιακωβιανό πίνακα.

jacobianMatix := { {D[vecX, x], D[vecX, y]}, {D[vecY, x], D[vecY, y]} } MatrixForm[jacobianMatix]